Question

【題目】已知函數f（x）=（1+x）e﹣2x ， g（x）=ax+ +1+2xcosx，當x∈[0，1]時，
（1）求證： ；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①當x∈[0，1）時，（1+x）e﹣2x≥1﹣x（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，

令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，則h′（x）=x（ex﹣e﹣x）．

當x∈[0，1）時，h′（x）≥0，

∴h（x）在[0，1）上是增函數，

∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．

②當x∈[0，1）時， ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，則u′（x）=ex﹣1．

當x∈[0，1）時，u′（x）≥0，

∴u（x）在[0，1）單調遞增，∴u（x）≥u（0）=0，

∴f（x） ．

綜上可知： ．

（2）解：設G（x）=f（x）﹣g（x）=

≥ = ．

令H（x）= ，則H′（x）=x﹣2sinx，

令K（x）=x﹣2sinx，則K′（x）=1﹣2cosx．

當x∈[0，1）時，K′（x）＜0，

可得H′（x）是[0，1）上的減函數，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）單調遞減，

∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．

∴當a≤﹣3時，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．

下面證明當a＞﹣3時，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．

f（x）﹣g（x）≤ = =﹣x ．

令v（x）= = ，則v′（x）= ．

當x∈[0，1）時，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是減函數，

∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．

當a＞﹣3時，a+3＞0．

∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此時，f（x0）＜g（x0）．

即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．

綜上實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]．

【解析】（1）①當x∈[0，1）時，（1+x）e﹣2x≥1﹣x（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex ， 令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex ， 利用導數得到h（x）的單調性即可證明；②當x∈[0，1）時， ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，利用導數得出h（x）的單調性即可證明．（2）利用（I）的結論得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥ = ．再令H（x）= ，通過多次求導得出其單調性即可求出a的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．