Question

【題目】如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1=AC=CB= AB．

（1）證明：BC1∥平面A1CD
（2）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點，

又D是AB中點，連結DF，則BC1∥DF，

因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD．

（2）解：因為直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，

由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB，

又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，

設AB=2 ，則AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，

CD= ，A1D= ，DE= ，A1E=3

故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，

又A1C=2 ，過D作DF⊥A1C于F，∠DFE為二面角D﹣A1C﹣E的平面角，

在△A1DC中，DF= = ，EF= = ，

所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE= ．

【解析】（1）通過證明BC1平行平面A1CD內的直線DF，利用直線與平面平行的判定定理證明BC1∥平面A1CD（2）證明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．