Question

【題目】已知橢圓（）的左焦點為，點為橢圓上任意一點，且的最小值為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設O為坐標原點，若動直線與橢圓交于不同兩點、（、都在軸上方），且.

（i）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線的方程；

（ii）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）（i）；（ii）存在定點.

【解析】

（I）結合橢圓的性質，計算a,b的值，即可。（II）（i）計算直線AF的斜率，得到BF的斜率，得到直線BF的方程，代入橢圓方程，得到B點坐標，計算AB直線的斜率，結合點斜式，計算方程，即可。（ii）設出直線AF的方程，代入橢圓方程，結合韋達定理，得到直線AB的斜率，設出直線AB的方程，令y=0，計算x的值，計算點坐標，即可。

解：（I）設橢圓的標準方程為：（）

離心率為，，，

點為橢圓上任意一點，且的最小值為，

，，

解得，，

橢圓的方程為.

（II）

（i）由題意，，

，，

直線為：，

代入，得，解得或，

代入，得，舍，或，.

，直線的方程為：.

（ii）存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點.

證明：，在于軸的對稱點在直線上，

設直線的方程為：，

代入，得，

由韋達定理得，，

由直線的斜率，得的方程為：

令，得：

，

，，

，

對于動直線，存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點.