Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

（1）當時，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的最小值為，從而可得結(jié)論成立；（2）由條件得，令，則．然后分為和兩種情況進行討論，可得所求范圍．（3）由（2）得當，時，．故要證不等式成立，只需證，只需證明，只需證 ，然后構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論成立．

（1）當時，，

∴，

當時，；當時，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，

∴.

（2）由條件得，

令，則.

①當時，在上，，單調(diào)遞增，

∴，即，

∴在上為增函數(shù)，

∴，

∴時滿足條件.

②當時，令，解得，在上，，單調(diào)遞減，

∴當時，有，即 ，

∴在上為減函數(shù)，

∴，不合題意.

綜上實數(shù)的取值范圍為．

（3）由（2）得，當，時，，即，

要證不等式，

只需證明，

只需證明，

只需證 ，

設(shè)，

則，

∴當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，

又，

∴恒成立．

∴原不等式成立．