Question

若a＞0，b＞0，則min{max(a，b，

1

a2

+

1

b2

)}=

3	2

．

Answer 1

分析：不妨設a≥b＞0．分以下三種情況討論：①a≥b≥

3	2

時，由

1

a2

+

1

b2

≤

2

b2

≤b，可得max{a，b，

1

a2

+

1

b2

}=a≥

3	2

；②a≥

3	2

≥b時，可得max{a，b，

1

a2

+

1

b2

}=a≥

3	2

；
③

3	2

≥a≥b時，可得max{a，b，

1

a2

+

1

b2

}=

1

a2

+

1

b2

≥

3	2

．綜上即可得出min{max(a，b，

1

a2

+

1

b2

)}=

3	2

．

解答：解：不妨設a≥b＞0．
①a≥b≥

3	2

時，∵

1

a2

+

1

b2

≤

2

b2

≤b，∴max{a，b，

1

a2

+

1

b2

}=a≥

3	2

；
②a≥

3	2

≥b時，∵

2

a2

≤

1

a2

+

1

b2

≤

2

b2

，

2

a2

≤

2

3 4

=

3	2

≤

2

b2

，max{a，b，

1

a2

+

1

b2

}=a≥

3	2

；

③

3	2

≥a≥b時，∵

1

a2

+

1

b2

≥

2

a2

≥

2

3 4

=

3	2

，∴max{a，b，

1

a2

+

1

b2

}=

1

a2

+

1

b2

≥

3	2

．
綜上可知：則min{max(a，b，

1

a2

+

1

b2

)}=

3	2

．
故答案為

3	2

．

點評：熟練掌握不等式的性質和分類討論的思想方法是解題的關鍵．