Question

【題目】已知橢圓E的方程： ，P為橢圓上的一點（點P在第三象限上），圓P 以點P為圓心，且過橢圓的左頂點M與點C（﹣2，0），直線MP交圓P與另一點N．

（1）求圓P的標準方程；
（2）若點A在橢圓E上，求使得 取得最小值的點A的坐標；
（3）若過橢圓的右頂點的直線l上存在點Q，使∠MQN為鈍角，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓E的方程： ，得M（﹣10，0），C（﹣2，0））

設點P（m，n），則有 ，

又： ，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），）

所以

所以圓P的標準方程為（x+6）2+（y+4）2=32

（2）解：∵P為MN的中點，可得N（﹣2，﹣8）

設A（x，y），∴ ，∴ ∴ ，

得x=﹣6，y=﹣4時，∴ 最小

經檢驗，點A在橢圓 上∴A（﹣6，﹣4）

（3）解：設直線l：y=k（x﹣10），即直線與圓相交

所以圓心P到直線l的距離

得

得

【解析】（1）設點P（m，n），利用 ，以及橢圓方程求出m，n，然后求出半徑，即可求解圓的方程．（2）由題意求出N的坐標，設A（x，y），表示出 ，求出最小值時點A的坐標．（3）設直線l：y=k（x﹣10），利用直線與圓相交，圓心P到直線l的距離小于半徑，列出不等式求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．