Question

【題目】函數，且在處的切線斜率為.

(1)求的值，并討論在上的單調性；

(2)設函數 ，其中，若對任意的總存在，使得成立，求的取值范圍

（3）已知函數，試判斷在內零點的個數.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.（3）1個零點

【解析】試題分析：

(1)由函數的解析式可得f′(x)＝(a－1)sin x＋axcos x，由可得，利用導函數討論單調性可得f(x)在， 上單調遞增；在， 上單調遞減．

(2)結合(1)的結論可知f(x)min＝f(0)＝1，則g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立．且g′(x)＝ (x≥0，m>0)，據此討論可知m≥2時滿足題意，當0<m<2時不合題意，則的取值范圍是m≥2.

(3)由函數的解析式可得： ，構造函數，則，據此討論可得存在，當時， 單調遞增，當時， 單調遞減，結合端點函數在可得在內零點的個數為1個.

試題解析：

(1)∵f′(x)＝asin x＋axcos x－sin x＝(a－1)sin x＋axcos x，

f　′＝(a－1)·＋·a·＝，

∴a＝1，f′(x)＝xcos x.

當f′(x)>0時，－π<x<－或0<x<；

當f′(x)<0時，－<x<0或<x<π，

∴f(x)在，上單調遞增；在，上單調遞減．

(2)當x∈[0，]時，f(x)單調遞增，∴f(x)min＝f(0)＝1，

則只需g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立即可．

g′(x)＝ (x≥0，m>0)，

①當m≥2時，≥0，∴g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又g(0)＝1，∴g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立，故m≥2時成立．

②當0<m<2時，當x∈時，g′(x)<0，此時g(x)單調遞減，∴g(x)<g(0)＝1，故0<m<2時不成立．

綜上m≥2.

(3)由函數的解析式可得： ，

令，則，故函數單調遞增，

當從右側趨近于時， ， ，

故存在，滿足，

當時， 單調遞增，

當時， 單調遞減，

且： ， ，

函數圖象如圖所示：

據此可得： 在內零點的個數為1個.