Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）證明：當 a＞2時，f（x）在 R上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由函數(shù)f（x）=2|x+1|+ax（x∈R），

得 ，

當a＞2時，則a+2＞0，a﹣2＞0，

上述函數(shù)在每一段上都是增函數(shù)，

且它們在x=﹣1處的函數(shù)值相同，

∴當 a＞2時，f（x）在 R上是增函數(shù)

（2）解：根據(jù)（1），若函數(shù)存在兩個零點

則滿足 ，

解得0＜a＜2，

∴函數(shù)f（x）存在兩個零點，a的取值范圍為（0，2）

【解析】（1）首先，去掉絕對值，然后，將函數(shù) f（x）寫成分段函數(shù)的形式，針對x的取值情況，進行每一段上判斷函數(shù)為增函數(shù)即可；（2）則根據(jù)（1），當x≥﹣1，a+2＞0，當x＜﹣1，a﹣2＜0，f（﹣1）=﹣a＜0，求解a 的取值范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的零點與方程根的關系，需要了解單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能得出正確答案．