Question

已知實數a，b滿足|a|＜2，|b|＜2，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：證法一，利用綜合法；證法二，利用分析法證明．

解答： 證明：證法一：∵|a|＜2，|b|＜2，∴a²＜4，b²＜4，
∴4-a²＞0，4-b²＞0．…（2分）
∴（4-a²）（4-b²）＞0，即16-4a²-4b²+a²b²＞0，…（4分）
∴4a²+4b²＜16+a²b²，
∴4a²+8ab+4b²＜16+8ab+a²b²，…（6分）
即（2a+2b）²＜（4+ab）²，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…（8分）
證法二：要證2|a+b|＜|4+ab|，
只需證4a²+4b²+8ab＜16+a²b²+8ab，…（2分）
只需證4a²+4b²＜16+a²b²，
只需證16+a²b²-4a²-4b²＞0，…（4分）
即（4-a²）（4-b²）＞0．…（6分）∵|a|＜2，|b|＜2，∴a²＜4，b²＜4，∴（4-a²）（4-b²）＞0成立．
∴要證明的不等式成立．…（8分）

點評：本題考查不等式的證明，綜合法、分析法的應用，考查分析問題解決問題的能力．