Question

【題目】如圖，點是平行四邊形所在平面外一點， 平面， ,， .

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設中點， 交于，連， ，可先證明平面，再證明四邊形是平行四邊形，則，從而平面，進而利用面面垂直的判定定理可得結論；（Ⅱ）以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：取中點，連交于，連， ．

在菱形中， ，

∵平面， 平面，

∴，

又， ， 平面，

∴平面，

∵， 分別是， 的中點，

∴， ，

又， ，

∴， ，

∴四邊形是平行四邊形，則，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面，則， ， 兩兩垂直，以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則， ， ， ，

， ， ，

設是平面的一個法向量，則即

取，得， ，∴，

設是平面的一個法向量，

同理得， ．

∴，

∴二面角的余弦值為．