Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，點（1，

3

2

）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△AF₂B的面積為

12 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

（1）由題意可設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由|F₁F₂|=2得c=1，∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
又點（1，

3

2

）在橢圓C上，∴2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，a=2．則b²=a²-c²=4-1=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）如圖，
設直線l的方程為x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把x=ty-1代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：（3t²+4）y²-6ty-9=0

∴ y1+y2= 6t 3t2+4 y1y2= -9 3t2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 6t 3t2+4 )2-4× -9 (3t2+4)

=

12 t2+1

3t2+4

，
∴S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

12 t2+1

3t2+4

=

12 2

7

，
解得：t2=-

17

18

（舍）或t²=1，t=±1．
故所求直線方程為：x±y+1=0．