Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線準線與x軸交于C點，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的值為（　　）

A． p 2

B．p

C． 3p 2

D．2p

Answer 1

假設k存在，設AB方程為：y=k（x-

p

2

），
與拋物線y²=2px（p＞0）聯立得k²（x²-px+

p2

4

）=2px，
即k²x²-（k²+2）px+

k2p2

4

=0
設兩交點為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵∠CBF=90°，∴（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=

p2

4

，∴x₁²+2px₁-

p2

4

=0（x₁＞0），∴x₁=

-2+ 5

2

p，
∵x₁x₂=

p2

4

，∴x₂=

2+ 5

2

p，
∴|AF|-|BF|=（x₂+

p

2

）-（x₁+

p

2

）=2p，
故選D．