Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且橢圓Γ的右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，是否存在直線l，使得OA⊥OB，O為坐標原點，若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設F（c，0），
∵拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），且橢圓Γ的右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，∴c=1，
又e=

c

a

=

2

2

，得a=

2

，于是有b²=a²-c²=1．
故橢圓Γ的標準方程為

x2

2

+y2=1；
（2）假設存在直線l滿足題意．
①當直線l為x=-1時，A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，

OA

•

OB

=(-1，

2

2

)•(-1，-

2

2

)=1-

1

2

≠0，此時OA⊥OB不成立，與已知矛盾，舍去．
②設直線l的方程為y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，消去y得，（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x₁x₂+y₁y₂
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)

2k2-2

2k2+1

+k2

-4k2

2k2+1

+k2=

k2-2

2k2+1

=0⇒k=±

2

∴直線l的方程為y=±

2

(x+1)，
即

2

x-y+

2

=0或

2

x+y+

2

=0．