Question

如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4，Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且∠BOC=90°，動點D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）當∠CDO最大時求三棱錐V_A-CDO的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件推導出CO⊥BO，從而CO⊥平面AOB，由此能證明平面COD⊥平面AOB．
（2）當OD最小時，∠CDO最大，OD⊥AB，垂足為D，由∠CDO最大時三棱錐V_A-CDO的體積V=V_A-BOC-V_D-BOC，能求出結果．

解答： （1）證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵∠BOC=90°，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．
（2）解：由（1）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，
且tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

．當OD最小時，∠CDO最大，
這時，OD⊥AB，垂足為D，
∵在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4，
∴OD=

OA•OB

AB

=

3

，AO=2

3

，OB=2，
∵Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且∠BOC=90°，
∴OC=2，AC=4，∠BOD=

π

6

，BD=1，
設D到平面OBC的距離為h，由h=

BD

BA

×AO=

3

2

，
∴∠CDO最大時三棱錐V_A-CDO的體積：
V=V_A-BOC-V_D-BOC=

1

3

×S△BOC（AO-h）
=

1

3

×

1

2

×2×2×（2

3

-

3

2

）=

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．