Question

（2012•寧城縣模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M(1，

3

2

)，其離心率為

1

2

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 設直線l的斜率為k，且經過橢圓C的右焦點F，與C交于A，B兩點，點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，試判斷是否存在這樣的實數k，使點P在橢圓C上，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓離心率為

1

2

，可得3a²=4b²，利用點M(1，

3

2

)在橢圓C上，可得

1

a2

+

9

4b2

=1，由此可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-1）與橢圓方程聯立，消元，利用

OP

=

OA

+

OB

，確定坐標之間的關系，利用韋達定理，可得P的坐標，設P在橢圓C上，利用橢圓方程，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，所以3a²=4b²①
又點M(1，

3

2

)在橢圓C上，所以

1

a2

+

9

4b2

=1②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ） 橢圓C的右焦點F（1，0），設直線l的方程為y=k（x-1）
則由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1.

消y化簡整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0------（7分）
設A，B，P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），則
∵

OP

=

OA

+

OB

∴x0=x1+x2=

8k2

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)-2k=-

6k

3+4k2

．-------------（9分）
設P在橢圓C上，所以 

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．
從而

16k4

(3+4k2)2

+

12k2

(3+4k2)2

=1，化簡得4k²=3+4k²，無解
所以不存在這樣的實數k，使點P在橢圓C上------------------------------------------------（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，確定P的坐標是關鍵．