Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c的導數為f′（x），f′（0）＞0，并且函數y=

f(x)

的定義域為R，則

f(1)

f′(0)

的最小值為（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  3

  2

• C、3
• D、2

Answer 1

考點：導數的運算,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x）的值域為[0，+∞），可得對于任意實數x，f（x）≥0成立求出a的范圍及a，b c的關系，求出f（1）及f′（0），作比后放縮去掉c，通分后利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵f（x）的值域為[0，+∞），
即f（x）≥0恒成立，
∴

a＞0  △=b2-4ac≤0

，
∴c≥

b2

4a

．
又∵f′（x）=2ax+b，
∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．
∴

f(1)

f′(0)

=1+

a+c

b

≥1+

a+ b2 4a

b

=1+

4a2+b2

4ab

≥1+

2 4a2•b2

4ab

=2．
當且僅當4a²=b²時，“=”成立．
即

f(1)

f′(0)

的最小值為2．
故選：D．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了導數的運算，訓練了利用基本不等式求最值，關鍵是通過放縮轉化為含有兩個變量的代數式，是中檔題．