Question

【題目】設函數．

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若時， 恒成立，求整數的最小值．

Answer 1

【答案】(1) f（x）遞增區間為（0， ），（1，+∞），遞減區間為（，1）；(2)1.

【解析】試題分析：（1）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）問題轉化為a>x-2（x-1）lnx恒成立，令g（x）=x-2（x-1）lnx，根據函數的單調性求出a的最小值即可．

試題解析：

（1）由題意可得f（x）的定義域為（0，+∞），

當a=2時，f（x）=﹣x2+2x+2（x2﹣x）lnx，

所以f′（x）=﹣2x+2+2（2x﹣1）lnx+2（x2﹣x）=（4x﹣2）lnx，

由f'（x）＞0可得：（4x﹣2）lnx＞0，

所以或，

解得x＞1或0＜x＜；

由f'（x）＜0可得：（4x﹣2）lnx＜0，

所以或，

解得：＜x＜1．

綜上可知：f（x）遞增區間為（0，），（1，+∞），遞減區間為（，1）．

（2）若x∈（0，+∞）時，f（x）＞0恒成立，

即a＞x﹣2（x﹣1）lnx恒成立，

令g（x）=x﹣2（x﹣1）lnx，則a＞g（x）max．

因為g′（x）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx﹣1+，

所以g'（x）在（0，+∞）上是減函數，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，

故存在x0∈（1，2）使得g（x）在（0，x0）上為增函數，在（x0，+∞）上是減函數，

∴x=x0時，g（x）max=g（x0）≈0，

∴a＞0，又因為a∈Z，所以amin=1．