Question

【題目】已知Sn為數列{an}的前n項和，且an＞0，an2+an=2Sn ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）令bn= ，記Tn=b12b32…b2n﹣12 ， 求證：Tn≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an2+an=2Sn，

∴an﹣12+an﹣1=2Sn﹣1，

∴an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1=2an，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an＞0，

∴an﹣an﹣1﹣1=0，

∴an﹣an﹣1=1，

∵n=1時

∴a12+a1=2S1=2a1，

解得a1=1，

∴數列{an}是以為首項以1為公差的等差數列，

∴an=1+（n﹣1）=n

（2）解：∵bn= = ，

∴數列{bn}是遞增數列，

∴b2n＞b2n﹣1，

∴b2nb2n﹣1＞（b2n﹣1）2，

∴Tn=b12b32…b2n﹣12≥b1b1b2b3b4…b2n= × × × ×…× × = ，當n=1時取等號，

∴Tn≥

【解析】（1）利用遞推關系可得an2+an=2Sn ， an﹣12+an﹣1=2Sn﹣1 ， 兩式相減化簡后得到an﹣an﹣1=1，繼而得到數列{an}是以為首項以1為公差的等差數列，求出通項公式即可（2）bn= = ，數列{bn}是遞增數列，利用放縮法即可證明．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．