Question

【題目】已知命題p：“x∈[1，2]， x2－lnx－a≥0”與命題q：“x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】 (－∞，－4]∪[－2，]

【解析】

根據題意，命題p，利用恒成立問題方法轉化，求出a的取值范圍；

命題q，由一元二次方程的根的情況分析可得a的取值范圍，根據p、q都是真命題，將兩次求出的a的范圍求交集即可.

命題p：a≤x2－lnx在x∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝x2－lnx，f ′(x)＝x-＝ ，

當1<x<2時，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝.∴a≤. 即：當a≤時，p是真命題.，

命題q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4.即當 a≥－2或a≤－4時，q是真命題，

綜上，a的取值范圍為(－∞，－4]∪[－2，]．