Question

【題目】已知拋物線C：經過點，其焦點為F，M為拋物線上除了原點外的任一點，過M的直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點．

Ⅰ求拋物線C的方程以及焦點坐標；

Ⅱ若與的面積相等，證明直線l與拋物線C相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的方程為x2=4y，其焦點坐標為（ 0，1），（Ⅱ）見解析

【解析】

Ⅰ把點的坐標代入拋物線方程中，求出，這樣就可以直接寫出拋物線C的方程以及焦點坐標；

Ⅱ設出點的坐標，已知與的面積相等，可以推出是的中點，求出的坐標，這樣可以求出直線的方程，與拋物線的方程聯立，得到一個一元二次方程，只要證明出這個一元二次方程根的判別式為零，就可以證明出直線l與拋物線C相切．

解：（Ⅰ）∵拋物線x2=2py過點P（2，1），∴4=2p，解得p=2，

∴拋物線的方程為x2=4y，其焦點坐標為（ 0，1），

（Ⅱ）設（x0，），由△AFM的面積等于△AFB的面積，可得|MA|=|AB|，

即A是MB的中點，∴A（，0），B（0，-），

∴直線l的方程為y=（x-），

直線l的方程與拋物線C的方程聯立得，得x2-2x0x+x02=0，得x=x0，y=，

∴直線l與拋物線C只有一個公共點，

∴直線l與拋物線相切，且切點為M．