Question

在四面體ABCD中，已知AB=4，AC=4，AD=2，且AB、AC、AD兩兩所成角為60°，則四面體ABCD的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)B在平面ACD中的射影為O，利用AB、AC、AD兩兩所成角為60°，可得cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，從而求出cos∠BAO=

3

3

，可得sin∠BAO，進而求出高BO，再求出底面積，即可求出四面體ABCD的體積．

解答： 解：設(shè)B在平面ACD中的射影為O，則
∵AB、AC、AD兩兩所成角為60°，
∴cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，
∴cos60°=cos∠BAOcos30°，
∴cos∠BAO=

3

3

，
∴sin∠BAO=

6

3

，
∴BO=ABsin∠BAO=

4 6

3

，
∵AC=4，AD=2，∠DAC=60°，
∴S_△ACD=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

，
∴V_ABCD=

1

3

×2

3

×

4 6

3

=

8 2

3

．
故答案為：

8 2

3

．

點評：本題考查四面體ABCD的體積，考查學生的計算能力，確定四面體ABCD的高是關(guān)鍵．