Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心．”請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，解答問題：若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，則g(

1

2011

)+g(

2

2011

)+g(

3

2011

)+g(

4

2011

)+…+g(

2010

2011

)的值是（　　）

A．2010

B．2011

C．2012

D．2013

Answer 1

分析：構(gòu)造h（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，m（x）=

1

x- 1 2

，則g（x）=h（x）+m（x），分別求得對(duì)稱中心，利用g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2，可得結(jié)論．

解答：解：由題意，令h（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，m（x）=

1

x- 1 2

則h′（x）=x²-x+3，∴h″（x）=2x-1，
令h″（x）=0，可得x=

1

2

∴h（

1

2

）=1，即h（x）的對(duì)稱中心為（

1

2

，1），
∴h（x）+h（1-x）=2
∵m（x）=

1

x- 1 2

的對(duì)稱中心為（

1

2

，0）
∴m（x）+m（1-x）=0
∵g（x）=h（x）+m（x）
∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
∴g(

1

2011

)+g(

2

2011

)+g(

3

2011

)+g(

4

2011

)+…+g(

2010

2011

)=2010
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查新定義，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．