Question

（2013•昌平區二模）對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是函數f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，請你根據上面探究結果，解答以下問題
（1）函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心為

（

1

2

，1）

；
（2）計算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f（

2012

2013

）=

2012

．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心．
（2）由f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心為（

1

2

，1），知f（x）+f（1-x）=2，由此能夠求出f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f（

2012

2013

）．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，
∴f′（x）=x²-x+3，f''（x）=2x-1，
令f''（x）=2x-1=0，得x=

1

2

，
∵f（

1

2

）=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2-

5

12

+3×

1

2

=1，
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心為（

1

2

，1），
（2）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心為（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f（

2012

2013

）=2×1006=2012．
故答案為：（

1

2

，1），2012．

點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，求函數的值以及函數的對稱性的應用，屬于難題．