Question

（2013•安慶三模）對于三次函數f（x）-ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f^t（x）是函數y=f（x）的導數，f^tt（x）是函數f^t的導數，若方程f^tt（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個一元三次函數都有“拐點”；且該“拐點”也為該函數的對稱中心．若f（x）=x³-

3

2

x²+

1

2

x+1，則f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）=（　　）

A．1

B．2

C．2013

D．2014

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，再求出導函數的導函數，由導函數的導函數等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，從而得到f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）的值．

解答：解：由f（x）=x³-

3

2

x²+

1

2

x+1，得f′(x)=3x2-3x+

1

2

，
所以f^′′（x）=6x-3，由f^′′（x）=6x-3=0，得x=

1

2

．
∴f(

1

2

)=1，∴f（x）的對稱中心為（

1

2

，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2013

2014

)=f(

2

2014

)+f(

2012

2014

)=…=2f(

1007

2014

)=2．
∴f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）=2013．
故選C．

點評：本題是新定義題，考查了函數導函數的零點的求法，考查了函數的性質，解答的關鍵是尋找函數值所滿足的規律，是中檔題．