Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f''（x）是函數y=f（x）的導數f′（x）的導數，若方程f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發現“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心”，且‘拐點’就是對稱中心．請你將這一發現作為條件．
（1）．函數f（x）=x³-3x²+3x的對稱中心為

（1，2）

．
（2）．若函數g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=

2012

．

Answer 1

分析：（1）根據“拐點”的定義求出f''（x）=0的根，然后代入函數解析式可求出“拐點”的坐標．
（2）先求出函數的對稱中心，利用對稱中心的性質可得答案；

解答：解：（1）依題意，f'（x）=3x²-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐點”坐標是（1，2）．
∴函數f（x）=x³-3x²+3x的對稱中心為（1，2）；
故答案為：（1，2）；
（2）∵g（x）+g（1-x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

+

1

3

(1-x)3-

1

2

(1-x)2+3（1-x）-

5

12

+

1

1-x- 1 2

=2，
∴g（x）的圖象關于點（

1

2

，1）對稱，
∴g（

1

2013

）+g（

2

2013

）+g（

3

2013

）+…+g（

2012

2013

）
=[g（

1

2013

）+g（

2012

2013

）]+[g（

2

2013

）+g（

2011

2013

）]+…+[g（

1006

2013

）+g（

1007

2013

）]
=2×1006=2012，
故答案為：2012．

點評：本題在函數、導數、方程的交匯處命題，具有較強的預測性，而且設問的方式具有較大的開放性，情景新穎，解題的關鍵是：深刻理解函數“拐點”的定義和函數圖象的對稱中心的意義．其本質是：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；且任何一個三次函數的拐點就是它的對稱中心．