Question

【題目】已知函數在點處的切線與直線平行，且，其中.

（Ⅰ）求的值，并求出函數的單調區間；

（Ⅱ）設函數，對于正實數，若，使得成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），的單調遞增區間為; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得斜率，列方程，求解即可

（Ⅱ），使得成立等價于在區間上有解，即在區間上有解，轉化為在區間上有解，構造函數，求導利用單調性求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）對求導，得.若在點處的切線與直線平行，則，又，求得.

即，此時，定義域為，

對求導，得.

由，求得，即的單調遞增區間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，使得成立等價于在區間上有解，即在區間上有解.

因為當時，（不同時取等號），所以，

于是在區間上有解可轉化為在區間上有解.

記,

則.

因為，則，

所以，即在上單調遞增，

所以，

可知.

于是實數的最大值為.