Question

【題目】已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

（1）若點(diǎn)是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)， ,求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）首先得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)滿足兩個(gè)條件，一個(gè)是點(diǎn)在橢圓上，滿足橢圓方程，另一個(gè)是將 ,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，這樣兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，解方程組；（2）首項(xiàng)設(shè)過點(diǎn)的直線為 ，與方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系， 和 ，以及 ，根據(jù)向量的數(shù)量積可知， 為銳角，即 ，這樣代入根與系數(shù)的關(guān)系，以及，共同求出的取值范圍.

試題解析：（1）易知.

，設(shè)，則

，又.

聯(lián)立，解得，故.

（2）顯然不滿足題設(shè)條件，可設(shè)的方程為，

設(shè)，

聯(lián)立

由

，得.①

又為銳角，

又

.②

綜①②可知的取值范圍是