Question

【題目】若存在實常數k和b，使得函數對其公共定義域上的任意實數x都滿足：恒成立，則稱此直線的“隔離直線”，已知函數(e為自然對數的底數)，有下列命題：

①內單調遞增；

②之間存在“隔離直線”，且b的最小值為；

③之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是；

④之間存在唯一的“隔離直線”．

其中真命題的序號為__________．(請填寫正確命題的序號)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由題意結合“隔離直線”的定義逐一考查所給的說法是否正確即可.

結合題意逐一考查所給命題的真假：

①∵m(x)=f(x)g(x)=x2,，則，

∴F(x)=f(x)g(x)在內單調遞增，故①對；

②、③設f(x)、g(x)的隔離直線為y=kx+b,則x2kx+b對一切實數x成立,即有△10,k2+4b0，b0，

又kx+b對一切x<0成立,則kx2+bx10,即△20,b2+4k0，k0，

即有k24b且b24k,k416b264k4k0，同理可得4b0，故②對，③錯；

④函數f(x)和h(x)的圖象在處有公共點,

因此若存在f(x)和g(x)的隔離直線，那么該直線過這個公共點,

設隔離直線的斜率為k，則隔離直線方程為ye=k(x),即y=kxk+e，

由f(x)kxk+e(x∈R),可得x2kx+ke0當x∈R恒成立，

則△0,即，故,此時直線方程為：，

下面證明：

令，則，

當時,G′(x)=0,當時,G′(x)<0,當時,G′(x)>0，

則當時,G(x)取到極小值，極小值是0，也是最小值.

所以,則當x>0時恒成立.

∴函數f(x)和g(x)存在唯一的隔離直線，故④正確.

故答案為：①②④.