Question

【題目】已知定義在上的函數滿足：

①對于任意的，都有；

②當時，，且．

(1)求，的值，并判斷函數的奇偶性；

(2)判斷函數在上的單調性；

(3)求函數在區間上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）為偶函數；（2）在上是增函數；（3）2.

【解析】

（1）先求f（﹣1）的值，令y=﹣1，推出f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），f（﹣x）=f（x）．結合函數奇偶性的定義，判斷函數f（x）的奇偶性；

（2）利用函數單調性的定義，直接判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性；

（3）通過（1），（2）奇偶性，單調性，直接求函數f（x）在區間[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值；

（1）令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；

再令x=y=﹣1，則f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1），得f（﹣1）=0．

對于條件f（xy）=f（x）+f（y），令y=﹣1，

則f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）=f（x）．

又函數f（x）的定義域關于原點對稱，所以函數f（x）為偶函數．

（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則有．

又∵當x＞1時，f（x）＞0，

∴f（）＞0

而＞f（x1），

所以函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．

（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，

∴f（4）=2．

又由（1）知函數f（x）在區間[﹣4，0）∪（0，4]上是偶函數且在（0，4]上是增函數，

∴函數f（x）在區間[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值為f（4）=f（﹣4）=2．