Question

已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程為普通方程；
（Ⅱ）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離的最小值及此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程化成普通方程,直線的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）當(dāng)t=

π

2

時(shí)，求得Q（8cosθ，3sinθ），M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ），C₃為直線x-2y-7=0，由M到C₃的距離d=

5

|sin（α-θ）-

13

5

|，由此求得d取得最小值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的θ，可得此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： （Ⅰ）把曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為：（x+4）²+（y-3）²=1；
把曲線C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為：

x2

64

+

y2

9

=1．
（Ⅱ）當(dāng)t=

π

2

時(shí)，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ），
C₃為直線x-2y-7=0，M到C₃的距離d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

|sin（α-θ）-

13

5

|，
其中，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
從而當(dāng)cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

時(shí)，d取得最小值

8 5

5

，
所以此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

32

5

，-

9

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．