Question

【題目】在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，以極點為原點，以極軸所在直線為軸建立直角坐標系，曲線分別與軸正半軸和軸正半軸交于點，，為直線上任意一點，點在射線上運動，且．

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）求點軌跡圍成的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）根據極坐標與平面直角坐標之間的關系即可求解.

（2）由（1）知，，則可求直線的極坐標方程為，在極坐標系中，設，，則，點在直線上，代入與Q點關系即可得到Q的軌跡方程，化簡并轉化為直角坐標方程可得軌跡為圓，求圓面積即可.

（1）∵，∴．

由得，

∴曲線的直角坐標方程．

（2）由（1）知，，

則直線的直角坐標方程為，

極坐標方程為．

在極坐標系中，設，，則．

∵點在直線上，∴，

∴，

即，即．

∴點軌跡的直角坐標方程為，

即，

∴點的軌跡為半徑為的圓，圓的面積為．