Question

【題目】已知，，．

（1）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）當時，若恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 4x-y-4=0 (2) ．

【解析】

（1）a＝2時，f（x）＝﹣x3+5x2﹣3x﹣1，f（1）＝0．f′（x）＝﹣3x2+10x﹣3，f′（1）＝4．利用點斜式即可得出：函數＝f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程．

（2）g（x）≥f′（x），即（x+1）lnx﹣3x2+x﹣2（a﹣1）≥﹣3x2+（4a+2）x﹣（2a﹣1），化為：4a+1，（x≥1）．令h（x），（x≥1）．利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

(1)a=2時，

∴ 函數y=f(x)的圖象在點（1,f(1)）處的切線方程為：y0=4(x1)，即4xy4=0

(2)，∴，

化為：．

令．

，

令

因此函數在上單調遞增．

∴

∴

∴ 函數h（x）在上單調遞增．

∴ 函數，

∴ ，解得

∴ 實數a的取值范圍是．