Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2BG=2．

（1）證明：AG∥平面BDE；
（2）求二面角E﹣BD﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE平面BCEG，

∴EC⊥平面ABCD．

根據題意以C為原點，CD，CB，CE分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0）G（0，2，1）

設平面BDE的法向量為 =（x，y，z），

∵ ， =（2，0，﹣2），

∴ ，∴x=y=z，

∴平面BDE的一個法向量為 =（1，1，1），

∵ =（﹣2，1，1），∴ =﹣2+1+1=0，∴ ⊥ ，

∵AG平面BDE，

∴AG∥平面BDE

（2）解：設平面BDG的法向量為 =（x，y，z），

∵ =（2，﹣2，0）， =（0，0，1），

∴ ，

取x=1，得平面BDG的一個法向量為 =（1，1，0），

設二面角E﹣BD﹣G的平面角為θ，

則cosθ= = = ，

故二面角E﹣BD﹣G的余弦值為

【解析】（1）根據題意以C為原點，CD，CB，CE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AG∥平面BDE．（2）求出平面BDG的一個法向量和平面BDE的一個法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣G的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．