Question

【題目】已知橢圓：的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線：與圓：相切，且直線與橢圓相交于、兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0

【解析】

（1）由拋物線的焦點是該橢圓的一個頂點，可得，結合離心率，可求，進而可求出，從而可求橢圓的方程.

（2）由直線和圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，即，設，，聯立直線和圓的方程，整理后由韋達定理可知，，，從而可求.

解：（1）因為橢圓的離心率，所以，即．

因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點，所以，

所以，則，所以橢圓的方程為．

（2）由圓的方程可知，圓心為 ，半徑為 ；由于直線與圓相切，

故圓心到直線的距離，整理得，

則聯立直線和橢圓的方程，即，消去，得，設，，則，，則

．

所以.