【題目】已知函數
.
（1）若
恒成立，
.求
的最大值；
（2）若函數
有且只有一個零點，且滿足條件的
，使不等式
恒成立，求實數
的值.
【答案】（1）1（2）實數
的值為1
【解析】
（1）對參數
進行分類討論，構造函數
，即可利用導數求得其最大值，則問題得解；
（2）由
有且只有一個零點，可得
之間的關系，構造函數
，根據其單調性，即可容易求得結果.
（1）
，
當
時，
，函數
在
上單調遞增，
，不合題意.
當
時，由
，解得
，由
，解得
，
所以函數在
上單調遞增，在
上單調遞減，
所以
，
所以
，此時
，
令，則
，
當
，函數
單調遞增，
當
時，
，函數單調遞減，
所以
，所以
的最大值為1.
（2）
，易知函數
在上單調遞減，
因為函數
有且只有一個零點，設該零點為
，所以
，
，
即
，解得
，
由
恒成立，得
，
整理得
在上恒成立.
令，
則
.
若
，
，
在上單調遞增，
又因為
，所以當
時，
，不合題意.
若
，當
時，
，當
時，，
所以函數在
上單調遞減，在
上單調遞增.
①
時，函數在
上單調遞增，
，不合題意；
②當
時，函數
在
上單調遞減，，不合題意；
③當
時，
，符合題意.
綜上所述，實數的值為1.
新思維假期作業寒假吉林大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，OH分別為銳角△ABC的外心垂心，AD⊥BC于D，G為AH的中點點K在線段GH上，且滿足GK=HD，連結KO并延長交AB于點E.
（1） 證明：
；
（2） 證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某超市2019年中的12個月的收入與支出數據的折線圖如圖所示，則下列說法中，錯誤的是（ ）
A.該超市在2019年的12個月中，7月份的收益最高；
B.該超市在2019年的12個月中，4月份的收益最低；
C.該超市在2019年7月至12月的總收益比2109年1月至6月的總收益增長了90萬元；
D.該超市在2019年1月至6月的總收益低于2109年7月至12月的總收益.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的左、右頂點分別為
，
，上、下頂點分別為
，
，且
，
為等邊三角形，過點
的直線與橢圓
在
軸右側的部分交于
、
兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求四邊形
面積的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
，
，
，
是
的中點，E是棱
上一動點．
（1）若E是棱的中點，證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）是否存在點E，使得
，若存在，求出E的坐標，若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，左、右焦點分別為
、
，拋物線
的焦點
恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線
：
與圓
：
相切，且直線與橢圓相交于
、
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】空氣質量指數AQI是反映空氣質量狀況的指數，AQI指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如下表：
AQI指數值 | 0～50 | 51～100 | 101～150 | 151～200 | 201～300 | ＞300 |
空氣質量 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數變化趨勢：
下列敘述錯誤的是
A. 這20天中AQI指數值的中位數略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數占
C. 該市10月的前半個月的空氣質量越來越好
D. 總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好
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