【題目】已知函數
．
（1）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）求證：函數
有且只有一個零點．
【答案】（1）
；（2）詳見解析．
【解析】
（1）對函數進行求導，求出切線的斜率和切點坐標，即可得答案；
（2）函數的定義域為
，要使函數
有且只有一個零點，只需方程
有且只有一個根，即只需關于x的方程
在
上有且只有一個解，利用導數可得函數
在單調遞增，再利用零點存在定理，即可得答案；
（1）當
時，函數
，
，
，
，
，
所以函數
在點
處的切線方程是．
（2）函數的定義域為，
要使函數有且只有一個零點，只需方程有且只有一個根，
即只需關于x的方程在上有且只有一個解．
設函數，
則
，
令
，
則/span>
，
由
，得
．
x |
|
|
|
|
|
|
|
| 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
由于
，
所以
，
所以在上單調遞增，
又
，
，
①當
時， 
，函數
在有且只有一個零點，
②當
時，由于
，所以存在唯一零點．
綜上所述，對任意的
函數有且只有一個零點．
世紀百通期末金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優秀的學生，新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調查，統計數據如下：
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 40 | 40 |
（1）通過估算，試判斷男、女哪種性別的學生愿意投入到新生接待工作的概率更大．
（2）能否有99%的把握認為，愿意參加新生接待工作與性別有關？
附：
，其中
．
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的左、右頂點分別為
，
，上、下頂點分別為
，
，且
，
為等邊三角形，過點
的直線與橢圓
在
軸右側的部分交于
、
兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求四邊形
面積的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面ABCD，
，
，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.
求證：（1）直線
平面EFG；
（2）直線
平面SDB.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，左、右焦點分別為
、
，拋物線
的焦點
恰好是該橢圓的一個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線
：
與圓
：
相切，且直線與橢圓相交于
、
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線
的焦點為
.
若點
為拋物線上異于原點的任一點，過點作拋物線的切線交
軸于點
，證明：
.
，
是拋物線上兩點，線段
的垂直平分線交軸于點
(不與
軸平行)，且
.過軸上一點
作直線
軸，且
被以
為直徑的圓截得的弦長為定值，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
的底面
中，
∥
，
，
平面，
是的中點，且
（1）求證：
∥平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在線段
內是否存在點
，使得
？若存在指出點的位置，若不存在，請說明理由．
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