Question

已知橢圓：（）的焦距為，且過點（，），右焦點為．設，是上的兩個動點，線段的中點的橫坐標為，線段的中垂線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍為．

試題分析：（I）利用橢圓的幾何性質，建立的方程組即得；
（2） 討論當直線AB垂直于軸時，直線AB方程為，此時、 ，得．
當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為()， ()， ，，利用“點差法”，首先得到；
得到 的直線方程為．即．
聯立 消去 ，整理得．
設 ，，應用韋達定理，得到．
根據在橢圓的內部，得到
進一步得到的取值范圍為．
試題解析：（1） 因為焦距為，所以．因為橢圓過點（，），
所以．故，  2分
所以橢圓的方程為     4分

（2） 由題意，當直線AB垂直于軸時，直線AB方程為，此時、 ，得．   5分
當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為()， ()， ，
由  得，則，
故．                                   6分
此時，直線斜率為， 的直線方程為．
即．
聯立 消去 ，整理得．
設 ，
所以，．            9分
于是

．  11分
由于在橢圓的內部，故
令，，則．         12分
又，所以．
綜上，的取值范圍為．                 13分