Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c，給出下列命題：
①“a＞b”是“

1

a

＜

1

b

”的必要條件；
②“

|a|＜1 |b|＜1

”是“|a+b|+|a-b|＜2”的充要條件；
③“a＜0”是“二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象恒在x軸下方”的必要條件；
④“b≠c”是“tanb≠tanc”的既不充分又不必要條件；
⑤不等式|2a-log₂a|＜2a+|log₂a|成立的充分不必要條件是a＞2．
以上命題中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：①分別取a=1，b=-2和a=-1，b=-2可判斷“a＞b”與“

1

a

＜

1

b

”沒(méi)有直接關(guān)系；
②已知|a|＜1，|b|＜1，可以得出a+b和a-b范圍，由|a+b|+|a-b|＜2，也可推出a和b的范圍，從而進(jìn)行判斷；
③a＜0，說(shuō)明二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象開(kāi)口向下，至于函數(shù)圖象恒在x軸下方，還得看△與0的關(guān)系，據(jù)此進(jìn)行判斷；
④利用周期性進(jìn)行判斷；
⑤利用絕對(duì)值不等式進(jìn)行判斷，|a-b|≤|a|+|b|，進(jìn)行判斷；

解答：解：①可以取a=1，b=-2此時(shí)a＞b，但

1

a

＞

1

b

，
再取a=-1，b=2，可得

1

a

＜

1

b

，但此時(shí)a＜b，
∴“a＞b”是“

1

a

＜

1

b

”的既不充分也不必要條件，故①錯(cuò)誤；
②∵|a|＜1，|b|＜1
∴-1＜a＜1，-1＜b＜1，
∴-2＜a+b＜2，-2＜a-b＜2
∴|a+b|＜2，|a-b|＜2
∴|a+b|+|a-b|＜4，∴|a|＜1，|b|＜1推不出|a+b|+|a-b|＜2
另一方面|a+b|+|a-b|＜2
∴|a+b|＜2，|a-b|＜2
∴-2＜a+b＜2，-2＜a-b＜2
∴-2＜a＜2，-2＜b＜2
∴|a|＜2，|b|＜2
∴|a+b|+|a-b|＜2推不出|a|＜1，|b|＜1．
∴②“

|a|＜1 |b|＜1

”是“|a+b|+|a-b|＜2”的既不充分也不必要條件，故②錯(cuò)誤；
③∵a＜0，∴二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象開(kāi)口向下，若二次函數(shù)圖象恒在x軸下方，還得要求△＜0，
∴“a＜0”推不出“二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象恒在x軸下方”，反之則可以，
∴“a＜0”是“二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象恒在x軸下方”的必要條件，故③正確；
④∵b≠c，可取b=

π

4

，c=

π

4

+ kπ，但有tanb=tanc，∴b≠c推不出tanb≠tanc，
但tanb≠tanc一定有b≠c，∴④“b≠c”是“tanb≠tanc”的必要不充分條件，故④錯(cuò)誤；
⑤若a＞0，則不等式|2a-log₂a|＜2|a|+|log₂a|=2a+|log₂a|，即可成立，
∴不等式|2a-log₂a|＜2a+|log₂a|推不出a＞2，反之則可以，
∴不等式|2a-log₂a|＜2a+|log₂a|成立的充分不必要條件是a＞2，故④正確；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題是道小型綜合題，涉及絕對(duì)值不等式，三角函數(shù)，二次函數(shù)的圖象等知識(shí)點(diǎn)，要求同學(xué)們要充分掌握課本上的基本知識(shí)，不能眼高手低，是道不錯(cuò)的題．