Question

已知函數f(x)=x3-ln(

x2+1

-x)，則對于任意實數a，b（a+b≠0），

f(a)+f(b)

a+b

的值（　　）

Answer 1

分析：利用函數奇偶性的定義，先判斷出f（x）是奇函數；再由函數單調性的定義，判斷出f（x）在R上是增函數，由此能求出結果．

解答：解：∵函數f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x），
∴f（-x）=（-x）³-log₃（

(-x)2+1

-(-x)）
=-x³-log₃

1

x2+1 -x

=-x³+log₃（

x2+1

-x）=-f（x）．
∵

x2+1

-x=

1

x2+1 +x

在R上單調減，x³在R上單調增
∴函數f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x）是奇函數，且在R上單調增．
不妨設a+b＞0，則a＞-b，
∴f（a）＞f（-b），
∴f（a）+f（b）＞0，
∴

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
故選A．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的應用，解題時要熟練掌握基本概念，合理地進行等價轉化．