Question

設定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足以下條件：①對于任意實數a，b，都有f（a•b）=f（a）+f（b）-p，其中p是正實數；②f（2）=p-1；（2）③x＞1時，總有f（x）＜p
（1）求f(1)及f(

1

2

)的值（寫成關于p的表達式）；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：本題考查的是抽象函數與函數的單調性知識的綜合應用問題．在解答時，對于（1）只需要利用特值得方法即可獲得解答；對于（2）要利用好條件③再結合單調性的定義證明即可獲得解答．

解答：解：（1）∵f（a）+f（b）-P=f（a•b），
令a=b=1，則f（1）=P
f(1)=f(2•

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)-P=f(

1

2

)+(P-1)-P=f(

1

2

)-1
∴f(

1

2

)=P+1
（2）設0＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(

x2

x1

•x1)
=f(x1)-f(

x2

x1

)-f(x1)+P=P-f(

x2

x1

)
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜P∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．

點評：本題考查的是抽象函數與函數的單調性知識的綜合應用問題．在解答的過程當中充分體現了抽象函數特值的思想、函數單調性以及問題轉化的思想．值得同學們體會反思．