Question

【題目】已知函數f（x）．

（1）求f（﹣1）+f（3）的值；

（2）求證：f（x+1）為奇函數；

（3）若銳角α滿足f（2﹣sinα）+f（cosα）＞0，求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

(1)直接求解求和即可.

(2)令證明即可.

(3)根據的奇偶性與單調性化簡f（2﹣sinα）+f（cosα）＞0求解即可.

（1）,故f（﹣1）+f（3）＝0；

（2）證明：：令g（x）＝f（x+1）,則,

此時,

∴函數g（x）為奇函數,即f（x+1）為奇函數；

（3）由（2）可得函數,

函數g（x）的定義域為R,任取x1＜x2∈R,

,

∵x1＜x2,

∴,則g（x1）﹣g（x2）＜0,

∴函數g（x）在R上為增函數,

且f（2﹣sinα）＝g（1﹣sinα）,f（cosα）＝g（cosα﹣1）,

∴f（2﹣sinα）+f（cosα）＞0即為g（1﹣sinα）+g（cosα﹣1）＞0,

又∵奇函數g（x）在R上為增函數,

∴,

解得．