Question

設f（x）=

ex+e-x

2

，g（x）=

ex-e-x

2

，計算f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=

 

，f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=

 

，并由此概括出關于函數f（x）和g（x）的一個等式，使上面的兩個等式是你寫出的等式的特例，這個等式是

 

．

Answer 1

分析：由函數的解析式計算f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=0，f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=0，分析兩個式子中自變量之間的關系，歸納推理可得答案．

解答：解：∵f（x）=

ex+e-x

2

，g（x）=

ex-e-x

2

，
∴f（1）g（3）+g（1）f（3）-g（4）=

e+e-1

2

•

e3-e-3

2

+

e-e-1

2

•

e3+e-3

2

-

e4-e-4

2

=

e4-e-2+e2-e-4

4

+

e4+e-2-e2-e-4

4

-

e4-e-4

2

=0，
同理求得 f（3）g（2）+g（3）f（2）-g（5）=0，
…
歸納可得：f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0，
故答案為：0、0、f（a）g（b）+f（b）g（a）-g（a+b）=0．

點評：本題考查的知識點是歸納推理，其中根據已知分析出等式中變量之間的關系規律是解答的關鍵，屬于中檔題．