Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-e^-x．
（1）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥2；
（2）若對(duì)所有x≥0都有 f（x²-1）＜e-e^-1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=e^x₊e^-x．由基本不等式易證．
（2）由（1）f′（x）≥2＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，不等式轉(zhuǎn)化為x²-1＜1求解即可．

解答：解：（1）f′（x）=e^x₊e^-x．由基本不等式得e^x₊e^-x≥2

ex•e-x

=2，故f′（x）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立．
（2）由（1）f′（x）≥2＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，f（x²-1）＜e-e^-1，即為 f（x²-1）＜f（1），
所以x²-1＜1，又x≥0，解得x的取值范圍為[0，

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化計(jì)算能力．