Question

（2013•永州一模）若函數f（x）=

3

sin^₂x+2cos²x+m在R上的最大值為5，
（1）求m的值；
（2）求y=f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）根據二倍角公式以及兩角和與差公式化簡函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1+m，進而得出2+1+m=5，即可求出m的值．
（2）令 

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，求得x的范圍，即可求得函數的單調減區間．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin^₂x+2cos²x+m=

3

sin^₂x+cos^₂x+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m       …（4分）
∴f（x）max=2+1+m=5
故 m=2                                          …（6分）
（2）由（1）可知 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3
則 

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，
解得 kπ+

π

6

≤x≤

2π

3

+kπ                              …（10分）
所以，函數y=f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，

2π

3

+kπ]（k∈Z）   …（12分）

點評：本題考查三角恒等變換及化簡求值，三角函數的最值、單調性，屬于中檔題．