Question

設函數f（x）=（x²-x-1）e^-x．
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）關于x的方程f（x）=a在區間[-1，4]上有兩個根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，令f′（x）=0，從而得到函數的單調區間和極值；（2）由題知，只需要函數y=f（x） 和函數y=a 的圖象有兩個交點即可．

解答： 解：（1）f'（x）=-x（x-3）e^-x，由f'（x）=0，解得x=0或3，
則x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值-1	↗	極大值5e-3	↘

由上表得，f（x）的單調增區間為（0，3），單調減區間為（-∞，0），（3，+∞）；
當x=0時f（x）有極小值-1，當x=3時，f（x）有極大值5e^-3．
（2）由題知，只需要函數y=f（x） 和函數y=a 的圖象有兩個交點即可．
∵（f（-1）=e，f（4）=11e^-4，
∴f（-1）＞f（3）＞f（4）＞f（0）
由（1）知f（x）在，當[-1，0）上單調遞減，（0，3）上單調遞增，在（3，4]在上單調遞減．
∴當a=5e^-3或-1＜a＜11e^-4時，y=f（x） 和y=a 的圖象有兩個交點．
即方程f（x）=a在區間[-1，4]上有兩個根．

點評：本題考察了利用導數研究函數的單調性，函數的極值問題，本題滲透了轉化思想，是一道基礎題．