Question

【題目】已知直線y=b與函數(shù)f（x）=2x+3和g（x）=ax+lnx分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|的最小值為2，則a+b= ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：設(shè)A（x1 ， b），B（x2 ， b）， 則2x1+3=ax2+lnx2=b，
∴x1= （ax2+lnx2﹣3），
∴|AB|=x2﹣x1=（1﹣ a）x2﹣ lnx2+ ，
令y=（1﹣ a）x﹣ lnx+ ，
則y′=1﹣ a﹣ = （x＞0），
由|AB|的最小值為2，
可得2﹣a＞0，
函數(shù)在（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x= 時(shí)，函數(shù)y取得極小值，且為最小值2，
即有（1﹣ a） ﹣ ln + =2，
解得a=1，
由x2=1，
則b=ax2+lnx2=1+ln1=1，
可得a+b=2．
所以答案是：2．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．