Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的極值點個數；

（2）若有兩個極值點，試判斷與的大小關系并證明.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2），詳見解析

【解析】

（1）由已知令，得，記，則函數的極值點個數轉化為函數與y＝2a的交點個數，再利用導數得到在上是增函數，在上是減函數，且，對a分情況討論，即可得到函數的極值點個數情況；
（2）由已知令，可得，記，利用導數得到的單調性，可得，當時，，所以當即時有2個極值點，從而得到，所以，即．

解：（1），

令，得，記，則，

令，得；令，得，

∴在上是增函數，在上是減函數，且，

∴當即時，無解，∴無極值點，

當即時，有一解，，即，

恒成立，無極值點，

當，即時，有兩解，有2個極值點，

當即時，有一解，有一個極值點.

綜上所述：當，無極值點；時，有2個極值點；

當，有1個極值點；

（2），,

令，則，,

記，則,

由得，由，得，

在上是增函數，在上是減函數,

，當時，,

∴當即時,

有2個極值點,

由,

得,

,

不妨設則，,

又在上是減函數,

,

,

.