Question

【題目】點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過坐標原點的直線交軌跡于，兩點，軌跡上異于，的點滿足直線的斜率為．

（ⅰ）求直線的斜率；

（ⅱ）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件可得等式，化簡可得曲線C的軌跡方程;

（Ⅱ）（ⅰ）設點，則點,利用點差法即可求解；

（ⅱ）由題意轉化為，由弦長公式及點到直線的距離求出，利用二次函數求最值即可.

（Ⅰ）由已知得，兩邊平方并化簡得，

即點的軌跡的方程為：．

（Ⅱ）（ⅰ）設點，則點，滿足， ①

設點，滿足， ②

由①－②得：，

∵，，

∴．

（ⅱ）∵，關于原點對稱，

∴，

設直線，代入曲線化簡得：，

設，，由得：，，，

，

點到直線的距離，

∴，

∴，當時，

∴取到最大值．