Question

【題目】如圖，正四面體ABCD的邊長等于2，點A，E位于平面BCD的兩側，且，點P是AC的中點．

（1）求證：平面

（2）求BP與平面所成的角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）首先取的中點，連接，，，根據已知條件易證與相似，從而得到，再利用線面平行的判定證明即可.

（2）取中點，連接，根據題意易證平面，設與平面所成角為，與所成的角為，得到，再利用向量法即可得到答案.

（1）取的中點，連接，，，如圖所示：

設在平面上的射影為，即平面，

，

所以為外心，

，同理可證在平面上的射影為，

即平面，所以三點共線，

即，所以四邊形為平面四邊形，

且為的中心，因為正四面體的邊長等于，

所以，，

又，所以，

又，所以，

所以，所以，

而平面，平面，故平面.

（2）取中點，連接，如圖所示：

因為正四面體，

所以，，又因為，

所以平面，

設與平面所成角為，

與所成的角為，則，

設為一組基底，

則，

所以，

.

因為，

所以.

又因為，，

所以，

即與平面所成角的正弦值為．