Question

【題目】

已知點，，動點P滿足，記動點P的軌跡為W．

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）直線與曲線W交于不同的兩點C，D，若存在點，使得成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）依題意，點P到兩定點A、B的距離之和為定值，且此值大于兩定點間的距離2，由橢圓定義可知動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為的橢圓，從而寫出W的標準方程；

（Ⅱ）先將直線方程與曲線W的方程聯立，得關于x的一元二次方程，利用韋達定理，寫出交點C、D的橫坐標的和與積，再求出線段CD的中垂線的方程，此直線與x軸的交點即為M，從而得m關于k的函數，求函數值域即可

試題解析：（Ⅰ）由橢圓的定義可知，動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為的橢圓．

∴，，．

W的方程是．

（Ⅱ）設C，D兩點坐標分別為、，C，D中點為．

由得．

所以

∴， 從而．

∴斜率．

又∵， ∴，∴即

當時，；

當時，．

故所求的取范圍是．